标签： 欧几里得数学竞赛

在不断变化的学术环境中，特别对有意申请理工科专业的学生而言，数学竞赛不仅是知识的挑战，更是展示自我能力的一扇窗口。错过了AMC10/12竞赛，那就更不应该忽视上半年的欧几里得数学竞赛。

2025年欧几里得考试报名时间

欧几里得报名截止时间‌：2025年3月6日

欧几里得竞赛时间‌

北美和南美：2025年4月2日

北美和南美以外地区：2025年4月3日

参赛对象：G9-G12

欧几里得报名注意事项：需要注意的是，欧几里得竞赛不接受个人报名。学生通常通过国际学校或其他教育机构进行报名。

考试内容

代数：涵盖函数（包括指数、对数函数）、三角函数、排列组合等内容。这部分题目考察学生对代数概念的理解以及应用能力。

平面几何与解析几何：大约占总题量的35%，涉及计算图形面积或边长，证明面积分割、边长比例关系等。这些题目要求考生具备较强的几何直觉和逻辑推理能力。

数论：虽然出现频率不高，但当涉及到时，通常会结合计数问题，并且往往位于试卷较后的部分，增加了其挑战性。

三角恒等与三角函数：这类题目一般出现在7~9题之间，约占10%的比例，测试学生对三角函数性质及其变换的掌握情况。

排列组合与概率：是必考的内容之一，通常在第5~7题或者作为最后一道综合题的一部分出现。这需要学生能够灵活运用组合数学原理解决实际问题。

其他知识点：还包括函数图像分析、正整数解的归纳法、复杂问题的递推法等，旨在全面评估学生的数学素养。

难度分布

前7题：

难度相对较低，主要目的是让大多数参赛者通过解答这些问题获得基础分数。这些题目侧重于基础知识的应用，如简单的代数运算、几何定理等，有助于建立信心并为接下来更难的问题做准备。

后3题：

特别是最后两题，难度明显增加，属于挑战性的题目。它们可能需要综合多个知识点进行解答，或者是引入了新颖独特的解题思路，用于筛选出最具潜力的学生。

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近年来，欧几里得数学竞赛成绩已成为滑铁卢大学及其他北美名校录取学生并颁发奖学金的重要考核标准。在滑铁卢大学的加持下，该竞赛在全球大学中得到广泛认可。

欧几里得数学竞赛高分技巧总结

清晰解题步骤

完整表达解题过程

逐步推理：在解答每一道题目时，学生需要按照逻辑顺序写出完整的解题步骤。即使最终答案正确，如果缺乏必要的中间步骤或解释，可能会导致扣分。

避免猜测：与选择题不同，欧几里得竞赛要求学生提供详细的解题思路，无法依赖选项进行排除或尝试代入法。因此，学生必须真正理解问题的本质，并能够系统地解决问题。

评分依据

方法与步骤：评委将根据学生使用的解题方法及其执行的每个步骤来打分。这意味着不仅要找到正确的答案，还要展示出科学合理的求解路径。

细节说明：对于复杂的计算或推导过程，务必详细记录每一个关键点，包括假设、公式应用、变量定义等，以确保阅卷人能清楚地跟随你的思维轨迹。

知识点的综合运用

跨学科融合

几何与代数结合：许多难题会涉及到几何图形与代数方程的联合使用，例如几何叠加复杂方程组、几何叠加不定方程等。这要求学生具备扎实的基础知识，并能在不同领域间灵活转换。

数列与其他概念交织：同样地，数列也可能与其他类型的方程或不等式相结合，形成更为复杂的题目。掌握这些知识点之间的内在联系是解决此类问题的关键。

灵活运用工具

公式定理的选择：竞赛中最重要的是对各种数学公式和定理的熟练掌握及快速准确的选择。学生应该熟悉常用公式及其应用场景，并能够在实际操作中灵活运用。

成体系训练：为了提高解题效率，建议进行系统化的练习，构建一个完整的知识框架。通过反复练习不同类型的问题，加深对各个知识点的理解，同时培养解决综合性问题的能力。

欧几里得获奖分数线参考

根据往年数据：

前25%（Certificate of Distinction）：约70分

前5%：约85分

前1%：约95分以上

需要注意的是，具体的分数线每年可能会有所波动，取决于当年试题难度以及全球参赛者的整体表现。因此，上述分数仅供参考。为了确保最佳准备状态，建议考生尽可能多地练习历年真题，熟悉题型并提高解题速度和准确性。

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欧几里得数学竞赛（Euclid Mathematics Contest）是由加拿大滑铁卢大学数学与计算机学院于1945年创办的一项全球性数学竞赛。作为一项高含金量的数学竞赛，欧赛的难度确实不低，那么欧几里得竞赛难度体现在哪些方面？什么样的学生更适合欧几里得数学竞赛竞赛？

欧几里得竞赛难度体现在哪些方面？

知识点覆盖广：欧几里得竞赛涉及多个数学知识点，要求选手具备较强的综合应用能力。一道题目常常涉及多个知识点，需要选手有很强的拆解和综合应用能力

难度跨度大：竞赛题目难度分布不均，前7题相对较为简单，适合中学数学基础扎实的学生。然而，从第8题开始，难度显著增加，尤其是最后3题，难度极高，堪称“地狱模式”。这些题目旨在挑战全球顶尖学生的思维能力

解题过程要求严格：与AMC数学竞赛的选择题不同，欧几里得竞赛要求考生详细展示解题步骤，分步得分。即使答案正确，如果解题过程不完整，可能无法获得全部分数。这要求考生不仅要知道答案，还要能够清晰地展示解题思路和方法

什么样的学生适合欧几里得数学竞赛？

1.想申请数学、计算机科学等相关专业的学生

提升竞争力：一个卓越的欧几里得成绩可以显著增强学生的大学申请竞争力，特别是对于那些希望进入顶尖学府学习数学、计算机科学、工程学等理工科专业的学生而言。滑铁卢大学等高等学府明确将欧几里得竞赛的成绩作为申请相关专业及奖学金的重要参考标准。

学术背景强化：通过准备和参与竞赛，学生能够加深对数学的理解，掌握更高级别的数学技能，这对未来的学术研究和职业发展都非常有帮助。

2.英语能力较好的学生

语言要求：由于竞赛题目全部采用英文表述，因此良好的英语阅读理解能力是成功参赛的基础。学生需要能够准确理解题意，并用英语表达解题思路。

资料获取：备考过程中也会接触到大量的英文资料，包括教材、练习题以及历年真题等。如果英语基础扎实，学生就能更有效地利用这些资源进行学习和训练。

3.对数学有浓厚兴趣的学生

兴趣驱动：欧几里得竞赛不仅考验学生的数学知识，还考察他们的逻辑思维能力和创新精神。只有真正热爱数学并愿意为之付出努力的学生才能在这个过程中保持长久的热情和动力。

长远规划：对于那些立志在未来从事数学、计算机科学或其他STEM领域工作的学生来说，参加此类竞赛不仅是对自己能力的一次检验，也是积累宝贵经验的好机会。它可以帮助学生更好地规划未来的职业路径，并为实现目标打下坚实的基础。

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欧几里得数学竞赛（Euclid Contest）是由加拿大滑铁卢大学主办的一项国际性数学竞赛，旨在评估学生的数学思维能力和解决问题的能力。该竞赛对于申请理工科专业尤其是滑铁卢大学的奖学金有着重要的参考价值。

欧几里得考试难度如何分布？

1-7题：基础题目

难度较低：这部分题目主要考察基本的代数和几何计算能力，包括但不限于余弦定理的应用、对数的运算、递推公式以及等差数列等知识点。

重点在于准确性和速度：考生需要确保在这些题目上不失分，并尽量快速完成以便为后面的难题留出足够的时间。

8-10题：进阶题目

难度较大：这几道题目的设计更加复杂，往往涉及到更高层次的概念和技术，如进阶二次函数的求解、Euclid算法（最大公约数的计算方法）等。

拉开差距的关键：能够正确解答这些题目不仅能显著提高总分，还能展示考生较强的数学思维和创新能力，因此是区分优秀考生的重要部分。

六大必考题型

Logarithms and Exponents（指对数的化简）

包括对数与指数函数的基本性质及其相互转换，以及它们在方程求解中的应用。

Functions and Equations（方程的求解）

主要涉及各种类型的函数（线性、二次、指数等）及其对应的方程形式，要求考生掌握多种求解技巧。

Analytic Geometry（解析几何）

研究平面直角坐标系内的图形特性，例如角度关系、相似三角形、圆锥曲线等，通常会结合向量或复数来增加难度。

Trigonometry（三角函数）

掌握正弦、余弦、正切等基本三角比的关系及其逆运算，熟悉单位圆上的特殊角度值，能灵活应用于实际问题中。

Sequences and Series（数列与级数）

尽管G11-G12的学生可能没有系统学习过这部分内容，但在竞赛中它仍然是一个常见考点，特别是等差数列、等比数列及其求和公式。

Circle Geometry（圆的相关知识）

关于圆的各种性质，比如切线定理、割线定理、圆心角与圆周角的关系等，常与其他几何概念相结合形成综合性较强的问题。

备考建议

强化基础知识：确保对所有基础概念有深刻理解，并能够熟练运用到不同情境下。

练习历年真题：通过做往年的试题了解命题趋势和题型分布，同时积累解题经验和技巧。

关注薄弱环节：识别自己不擅长的知识点或技能，针对性地进行复习和训练。

模拟实战环境：定期参加模拟测试，严格按照规定时间完成试卷，锻炼应试心理素质。

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欧几里得凭借严谨的赛制、高难度的题目和广泛的参与度，在加拿大乃至全球范围内享有极高的声誉，被称为“数学界的托福”或“奥林匹克”。2025年欧赛报名已经开启，还没有报名的同学不要错过啦，错过再等一年！

欧几里得竞赛报名安排

报名截止时间

2025年3月6日（官网时间，以所在学校或机构为准）

竞赛时间

北美和南美：2025年4月2日

北美和南美以外地区：2025年4月3日

题目设置

简答题、全解题，共10道大题，每道题都有2～3个小题；每题10分，满分100分。

*注意：可使用计算器，但有网络功能、存储功能、电脑代数系统、与其他设备沟通功能、动态几何软件的除外。

在加拿大境外学校参加欧几里得的学生，做到以下两点才被视为正式参赛者：

正确填写学生信息表，并出生于2006年1月1日或之后。

报名方式

学校报名：加拿大高中生可以直接在学校报名，国内高中生可联系设有欧几里得数学竞赛考点的国际学校老师进行报名。

合作机构代报名：如果无法通过学校报名，学生可以寻找合作机构进行代报名，我们是官方授权考点，扫码即可代报名。

重要考试技巧

1.熟悉常考题型

了解历年经常出现的题目类型，并针对性地进行练习，可以大大提高解题效率。

2.快速作答基础题

优先处理1-7题：这些题目相对简单，旨在考察基本知识。应迅速作答，确保拿到这部分分数，为后续难题留出足够时间。

3.关注关键线索

重视8-10题的开头部分：这三道题往往包含解题的关键线索，仔细阅读并理解题意非常重要。

利用题目之间的联系：例如，在9-10题中，A部分的答案或思路可能会为B部分提供启示，而B部分又可为C部分指明方向。保持这种连贯性思考有助于更高效地解决问题。

4.细心审题，谨慎作答

避免不必要的失误：认真读题，确保完全理解题目要求后再动手解答。

展示解题过程：即使最终答案不正确，只要展示了合理的解题步骤，仍然可以获得部分分数。评委重视的是你的思维过程和逻辑推理能力。

5.合理分配时间

不要盲目做题：每道题都有其解决方案，如果在一个问题上花费超过5分钟仍没有进展，立即跳过它，继续下一题。之后如果有剩余时间再回头解决遗留的问题。

灵活调整策略：根据实际情况灵活调整答题顺序，先易后难，确保能拿到尽可能多的分数。

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欧几里得数学竞赛通常在每年的4月举行，大约有2万名学生报名参加。参赛者来自不同的背景和国家，有的学生可能是数学天才，有的学生则希望通过竞赛提升自己的数学能力。无论参与动机如何，欧几里得竞赛都为学生提供了一个展示自己才华的平台。作为一项享誉全球的数学竞赛，欧几里得数学竞赛无疑为学生们提供了一个展现自我、锻炼能力的平台。

欧几里得数学竞赛性价比分析

欧几里得数学竞赛（Euclid Contest）因其独特的特点和广泛的适用性，是一个高性价比的学术挑战活动。

1.备考周期短且适用性强

高效备考：相比其他高水平数学竞赛，欧几里得的准备时间相对较短，学生可以在较短时间内通过集中复习和练习达到较好的参赛状态。

广泛适用年级：适合高中各年级的学生参加，尤其是对于即将申请大学的学生来说，能够在短期内提升自己的竞争力。

2.花费精力与成果的高比例回报

合理投入产出比：由于其考察重点在于逻辑思维能力和解题过程，而非仅仅追求最终答案的准确性，因此即使答案有误但过程正确也能获得相应的分数。这使得学生在准备过程中更容易看到进步，并从中获得成就感。

多次参与机会：学生可以在不同学年多次参加该竞赛，每次都有新的收获和成长，逐步积累经验和提高成绩。

3.综合能力测试

数学基础与思维模式并重：欧几里得不仅检验学生的数学知识掌握情况，更重要的是评估他们的逻辑推理能力和创造性解决问题的能力。这种全面性的考查有助于培养和发展学生的综合素质。

4.非理工专业友好型

打破传统观念：过去认为“不读理科就没有必要参加理工课挑战赛”的观念已经过时。如今，许多顶尖商学院也重视申请者的“理科思维”证明，因为这类技能同样适用于商业决策和数据分析等领域。

较低难度门槛：相比于美国AMC等竞赛，欧几里得的数学难度相对适中，覆盖范围更窄，允许使用科学计算器，这对非理工专业的学生非常友好，降低了参与障碍。

5.获奖率高与考情利好

较高的获奖几率：根据统计数据，只要认真备考，进入全球前25%并获得Certificate of Distinction证书的概率较大。这对于希望增加大学申请亮点的学生来说是一大优势。

有利的录取趋势：滑铁卢大学等知名学府明确表示推荐申请者参加此竞赛，特别是在数学院入学奖学金申请方面具有重要作用。此外，北美及其他地区多所高校对欧几里得的成绩高度认可，为申请增加了额外的竞争砝码。

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欧几里得数学竞赛的历史可以追溯到1945年，尽管正式命名为“欧几里得竞赛”的时间为1963年，这项比赛一直以来都代表着数学领域的高水平挑战。随着时间的推移，欧几里得竞赛逐渐成为一项国际性赛事，声誉不断上升，广泛被认可为具有高含金量的数学竞赛。

欧几里得竞赛适合哪些人群？

G10-G12学生：适合未来希望申请名校理工类专业、商学院的学生。

希望获得竞赛证书提升大学申请背景的同学：竞赛证书能够增强大学申请的竞争力。

希望冲刺加拿大 Top5名校的同学：欧几里得竞赛在加拿大顶尖大学中认可度较高。

希望申请到本科奖学金的同学：竞赛成绩优异者有机会获得滑铁卢大学及其他北美名校的奖学金。

欧几里得数学竞赛对不同学生群体的难度感受

对中国学生的难度感受

基础优势：

中国学生的数学基础普遍较好，从小接受较为系统的数学训练，因此在应对欧几里得竞赛的基础题部分时往往表现优异。

获得前25%的成绩相对容易：

凭借扎实的知识积累和较强的解题技巧，只要认真备考，大部分中国学生都能够进入全球前25%，获得Certificate of Distinction证书。

挑战更高排名需额外努力：

要进入前5%或取得更加突出的成绩，则需要付出更多的时间和精力来提升自己的数学水平和解题能力。特别是对于竞赛中的难题部分，如知识点的综合应用、复杂问题的解决等，必须进行针对性训练和深入思考。这包括但不限于：

掌握更多的高级定理和公式；

练习处理跨学科的问题；

提高逻辑推理能力和创造性思维。

对加拿大本地学生的难度感受

可能感受到更高的难度：

相较于中国学生，加拿大本地学生可能会觉得欧几里得竞赛更具挑战性。这是因为加拿大的数学教育体系与中国的有所不同，更注重概念的理解而非机械记忆和大量练习。

理解考试特点至关重要：

然而，如果能够摸清楚欧几里得竞赛的提问角度和答题技巧，加拿大本地学生同样可以取得不错的成绩。这意味着：

熟悉竞赛格式和常见题型；

学会清晰地表达解题过程；

强化知识点之间的联系，灵活运用所学知识解决问题。

总结

虽然中国学生在欧几里得数学竞赛中可能具有一定的基础优势，但无论是哪国的学生，想要在这项比赛中脱颖而出都需要经过充分的准备和不懈的努力。了解自身的优势与不足，采取合适的学习策略，是每个参赛者成功的关键。

对于加拿大本地学生来说，熟悉竞赛规则和特点尤为重要；而对于中国学生而言，则是在保持优势的同时进一步突破自我，特别是在处理复杂问题上的能力。

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欧几里得数学竞赛不仅是检验学生数学能力的有效途径，而且对于那些计划申请国际一流大学，尤其是滑铁卢大学数学相关专业的学生来说，更是一个重要的加分项。

欧几里得数学竞赛知识点

欧几里得数学竞赛知识点考察非常平稳，主要集中在基本代数运算与方程求解、数列、多项式、平面几何、解析几何、数论、三角恒等与三角函数、排列组合与概率、对数等模块。欧赛更加注重对学生数学逻辑的考察和培养，对解题过程有更高的要求。

欧几里得数学竞赛考试技巧

1.清晰表达解题过程

完整性和逻辑性：欧几里得竞赛强调解题过程的完整性，学生必须清楚地展示每一步骤及其背后的逻辑。这意味着不能依赖猜测或试错法，而是要通过严谨的推理来解决问题。

分步解答：将复杂的问题分解为若干个简单的子问题，并逐一解决。每完成一个步骤后，检查该步骤是否合理且正确，再继续下一步。

解释原因：对于每一个关键步骤，都要说明为什么选择这样做，以及它是如何帮助推进整个解题过程的。这不仅能确保获得满分，也有助于加深对知识点的理解。

2.知识点综合运用

跨学科联系：欧几里得竞赛经常涉及多个知识点的综合应用，如几何叠加复杂方程组、数列叠加不定方程等。因此，学生应该熟练掌握各个领域的核心概念，并能够灵活组合使用。

反复练习：通过大量的练习题来巩固所学知识，尤其是那些结合了不同知识点的题目。这样可以提高应对复杂问题的能力，并培养快速识别适用方法的直觉。

构建体系化训练：竞赛准备不仅仅是记忆公式和定理，更重要的是学会如何根据具体情况选择最合适的工具。为此，建议参加专门针对欧几里得竞赛设计的基础班、全程班和冲刺班课程，这些课程可以帮助学生系统地复习所有必要的知识点，并提供实战模拟的机会。

3.避免侥幸心理

杜绝猜测：由于欧几里得竞赛要求详细写出解题过程，因此无法像某些选择题那样依靠排除法或其他捷径。每个答案都应基于充分的理由和计算得出。

严格自我评估：平时做题时就要养成认真检查的习惯，确保每一步都没有遗漏或错误。即使是在时间紧迫的情况下，也要尽量保持解题过程的条理性和准确性。

4.针对性备考培训

基础班：适合刚开始接触竞赛的学生，重点在于夯实数学基础知识，理解基本原理，熟悉常见题型。

全程班：涵盖从初步学习到高级技巧的所有内容，适合有一定基础并希望全面提升自己能力的学生。

冲刺班：针对即将参赛的学生，集中强化薄弱环节，进行大量真题演练，调整心态迎接正式比赛。

无论是选择哪种类型的培训班，最重要的是找到适合自己当前水平和发展需求的学习路径。同时，持续不断地练习和反思是提高竞赛成绩的关键所在。通过这样的准备方式，学生们可以在欧几里得数学竞赛中展现出最佳状态，争取优异的成绩。

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欧几里得数学竞赛（Euclid Contest）作为全球公认的三大数学竞赛之一，与美国数学竞赛（AMC）和英国数学奥林匹克（BMO）齐名，具有极高的国际认可度。

欧几里得数学竞赛含金量

国际影响力

滑铁卢大学颁发证书：每年成绩排名前25%的学生将获得由滑铁卢大学颁发的Certificate of Distinction证书。这一成就在申请全球顶尖大学时是非常有分量的，尤其是在北美地区。

广泛接受于世界顶级高校：全球排名前100的大学，特别是北美地区的大学，对欧几里得数学竞赛的成绩高度认可。对于希望申请这些学校的高中生来说，优异的竞赛成绩可以显著提升他们的申请竞争力。

滑铁卢大学敲门砖

官方推荐参赛：滑铁卢大学的数学与计算机学院在其官网上明确表示“强烈推荐”申请学生参加欧几里得数学竞赛。这不仅表明了该校对该竞赛的重视程度，也暗示了它在录取决策中的重要性。

入学奖学金申请条件：参与并取得好成绩是申请滑铁卢大学数学院入学奖学金的必要条件之一。因此，对于有意申请该学院的学生而言，准备和参加这项竞赛显得尤为重要。

丰富的奖项设置

根据最新信息，2025年欧几里得数学竞赛的奖项设置有所简化，但仍保留了对表现优异学生的认可。以下是详细的奖项分类：

1.Certificate of Distinction（优秀证书）

颁发对象：全球范围内成绩位于前25%的参赛者。

意义：这是对所有参赛学生中表现较为突出者的广泛认可，对于申请大学尤其是滑铁卢大学等知名学府时是一个重要的加分项。

2.Contest Medal（竞赛奖牌）

颁发对象：每个学校的最高分参赛者。

由CEMC（加拿大数学与计算机教育中心）最终确定哪些学校的学生能够获得奖牌。

注：这一奖项旨在表彰每所学校内部最优秀的参赛者，鼓励校内竞争和学术追求。

3.Honour Rolls（荣誉榜提名）

①加拿大地区：

正式参赛者：在至少有30名参赛者的地区，高分参赛者的姓名将被列于区域、省级及全国的荣誉榜上。

非正式参赛者：同样有机会被列入相应级别的荣誉榜。

②国际区域：

高分参赛者：部分成绩优异的国际参赛者的姓名会出现在国际荣誉榜上。

4.Plaque and Cash Prizes

①加拿大前五名正式选手：

奖项内容：每位获奖者将获得一块奖牌和500加元的奖金。

具体获奖名单由CEMC评定。

②加拿大排名第6至第15位正式选手：

奖项内容：每位获奖者将获得200加元的奖金。

同样由CEMC进行评定。

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欧几里得数学竞赛是一项极具挑战性的数学竞赛，其获奖方式较为特殊，仅有前25%的参赛者能够获得奖项。因此，掌握一些有效的答题技巧对于取得好成绩至关重要。

欧几里得数学竞赛答题技巧

1.不要钻牛角尖

重点突破：

策略：将重点放在容易题和中难度题上，确保这些题目能够拿到尽可能多的分数。

原因：欧几里得的获奖机制决定了只有前25%的参赛者能够获奖，因此保住一定的正确率是首要任务。

合理分配精力：

先易后难：先解决容易的题目，确保基础分到手，再集中精力攻克难题。

避免浪费时间：如果遇到特别难的题目，不要钻牛角尖，先跳过，等完成其他题目后再回头尝试。

模拟练习：

自我评估：在做模拟卷子时，可以自己估算一下失分率和正确率，了解自己的薄弱环节。

调整策略：根据模拟练习的结果，调整答题策略，确保在正式比赛中能够合理分配时间。

2.合理安排比赛时间

时间管理：

考试时长：欧几里得竞赛的考试时间为2.5小时，时间相对充裕。

先易后难：先快速浏览一遍试卷，先做容易的题目，再做中等难度的题目，最后集中精力攻克难题。

跳过难题：

遇到不会的题目：如果遇到不会的题目，不要犹豫，先跳过，确保能够完成其他题目。

最后检查：如果做完会做的题目后还有充裕的时间，建议先检查一遍已经完成的题目，确认无误后再尝试解决剩下的难题。

目标导向：

拿奖策略：如果你的目标只是拿到奖状，那么最后两道花时间的大题不会影响你获奖。重点是把该拿的分数拿到，确保基础题和中难度题的正确率。

3.写清楚解题过程

填空题和简答题：

欧几里得竞赛：全部为填空题或简答题，没有选择题。

不同题型：有些题目只要求答案，而有些题目则需要展示解题过程。

过程分：

重要性：即使题目只要求答案，也要尽量把解题过程写在旁边。

原因：考官会酌情给过程分，不要放过任何可能得分的机会。

建议：

思路展示：如果不会做，也要尽量写下自己的思路或任何相关的想法。

公式应用：写下应用到的公式或定理，展示你的解题思路。

清晰表达：

逻辑清晰：解题过程要逻辑清晰，步骤分明，方便考官理解。

简洁明了：语言表达要简洁明了，避免冗长复杂的描述。

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